เรียนฟิสิกส์กับครูชิตชัย

นิวตันเสนอกฎแรงดึงดูดระหว่างมวลไว้ว่า

วัตถุทั่งหลายในเอกภพจะออกแรงดึงดูดซึ่งกันและกัน โดยขนาดของแรงดึงดูดระหว่างวัตถุคู่หนึ่ง ๆจะแปรผันตรงกับผลคูณระหว่างมาลวัตถุที่สองและจะแปรผกผันกับกำลังสองชองระยะทางระหว่างวัตถุทั้งสองนั่น”

ตามกฎแรงดึงดูดระหว่างมวลที่นิวตันเสนอ พิจารณาจากรูป  เราจะสามารถเขียนได้ว่า

……………(1)

เมื่อ m₁ และ m₂ เป็นมวลของวัตถุแต่ละก้อน มีหน่วยเป็น กิโลกรัม
R เป็นระยะระหว่างมวล m₁ กับm₂ มีหน่วยเป็น เมตร
G เป็นค่าคงตัวความโน้มถ่วงสากล เท่ากับ 6.673 x10^-11 นิวตัน – เมตรต่อกิโลกรัม²
F_G เป็นแรงดึงดูดระหว่างมวล m₁ กับm₂ มีหน่วยเป็น นิวตัน

      แรง F_G ตามกฎของนิวตันมีความหมายว่า เป็นแรงดูดอย่างเดียวไม่มีแรงผลัก และเป็นแรงกระทำร่วม กล่าวคือมวล m₁ และ m₂ ต่างฝ่ายต่างดูดซึ่งกันcละกันด้วยแรงขนาด ตามสมการ (1 )แต่ทิศทางตรงข้ามกัน ไม่มีใครดูดใครมากกว่าใคร

มวลของโลก

จากรูป วัตถุมวล m อยู่ที่ผิวโลกซึ่งมีมวล m_e มีรัศมี R_e วัตถุและโลกต่างดูดซึ่งกันและกันด้วยแรง F_e มีค่าเป็น

………..(2)

แรงที่วัตถุและโลกต่างดูดซึ่งกันและกันนี้แท้จริงคือน้ำหนักของวัตถุนั่นเอง ดังนั้นถ้า g เป็นอัตราเร่งโน้มถ่วงที่ผิวโลกจากสมการ (2) จะเขียนใหม่ได้เป็น

………..(3)

………..(4)

สมการ 4 เป็นสมการที่แสดงค่ามวลของโลก ซึ่วถ้าทราบรัศมีของโลกเราจะสามารถคำนวณมวลของโลกได้สมมติถ้ารัศมีของลกเท่ากับ 6.38 x10⁶ เมตร จะได้มวลของโลก m_eเท่ากับ

  m_e =

m_e = 5.9810²⁴ kg ……(5)

         ในการพิจารณามวลของโลก เราจะไม่ได้สมการ(4) ถ้าเราตัดมวล m ทั้งสองข้างจะได้

g = ………….(6)

          จากสมการ (6) จะเห็นว่า ค่า g ซึ่งเป็นค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง จะมีค่าขึ้นกับรัศมีโลก R_e หรืออาจกล่าวให้ชัดเจนขึ้นว่า g ขึ้นกับระยะทางห่างจากโลกออกไป กล่าวคือ g จากเมื่อระยะทางน้อย และ g จะน้อยเมื่อระยะทางงมาก หรือกล่าวสรุปว่า g แปรผันกับระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของโลกยกกำลังสอง

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง ณ ตำแหน่งลึกลงไปใต้ผิวโลก

         ในกรณีที่พิจารณา g ที่ตำแหน่งลึกลงไปใต้ผิวโลกจะพบว่า g แปรผันโดยตรงกับระยะจากศูนย์กลางของโลกถึงตำแหน่งที่พิจารณา และมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดศูนย์กลางของโลก โดยจะได้

g = (4/3)G p rR ………….(7)

เมื่อ r เป็นความหนาแน่นของโลก และ R เป็นระยะจากศูนย์กลางโลกถึงตำแหน่งที่พิจารณา

             เราทราบว่าถ้าปล่อยวัตถุมวล m ให้ตกอย่างเสรีบริเวณผิวโลก มันจะตกด้วยความเร่งคงที่  (g = 9.81 เมตรต่อวินาที² ) โดยไม่คิดแรงต้านทานของอากาศ เมื่อมวลที่ตกมีความเร่งจึงต้องเกิดแรงลัพธ์ตามกฎข้อสองของนิวตัน และมีค่า  เรานิยามน้ำหนักว่า

แรงที่โลกดึงดูดวัตถุ ดังนั้นขณะที่วัตถุตกอย่างเสรีซึ่งมีแรง กระทำ เราดึงแล้วปล่อย คือแรงที่โลกดึงดูดวัตถุมวล m ถ้า เป็นน้ำหนักของวัตถุมวล m ก้อนนี้ เราจะได้

         ดังนั้นน้ำหนักของวัตถุจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ มีหน่วยเหมือนแรงคือ นิวตัน น้ำหนักของวัตถุก้อนเดียวกันอาจเปลี่ยนไปถ้า เปลี่ยนไป เช่น มนุษย์อากาศเมื่ออยู่บนพื้นโลกอาจมีน้ำหนัก 700 นิวตัน แต่เมื่ออยู่ในยานกระสวยอากาศที่โคจรรอบโลกอยู่สูงจากผิวโลกมากจนค่า ใกล้เคียงศูนย์ มนุษย์อากาศคนนี้จะอยู่ในสภาพที่น้ำหนักเป็นศูนย์หรือไร้น้ำหนัก ดังภาพ

ค่าความเร่งเนื่องจากแรงดึงดูดของดาวเคราะห์ และดวงจันทร์

         ค่าความเร่งเนื่องจากแรงดึงดูดของดาวเคราะห์ และดวงจันทร์ โดยคิดเทียบกับค่าความเร่งเนื่องจาก
แรงดึงดูดของโลก ซึ่งมีค่าเท่ากับ 9.81 เมตรต่อวินาที²

          ตามกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 และ 2 ของนิวตันเป็นการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างแรงกับการเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่ของวัตถุ เมื่อแรงภายนอกมากระทำต่อวัตถุ นอกจากนี้นิวตันยังพบว่าในขณะที่มีแรงกระทำต่อวัตถุ วัตถุจะออกแรงโต้ตอบต่อแรงที่มากระทำนั้นโดยทันทีทันใด เช่น ถ้าเรายืนบนสเก็ตบอร์ดหันหน้าเข้าหาผนังแล้วออกแรงผลักฝาผนัง เราจะเคลื่อนที่ออกจากฝาผนัง การที่เราสามารถเคลื่อนที่ได้แสดงว่าจะต้องมีแรงจากฝาผนังกระทำต่อเรา ถ้าเราผลักฝาผนังด้วยขนาดแรงมากขึ้น แรงที่ฝาผนังกระทำกับเราก็มากขึ้นตามไปด้วย โดยเราจะเคลื่อนที่ออกห่างจากผนังเร็วขึ้น

          หรือเมื่อเราออกแรงดึงเครื่องชั่งสปริง เราจะมีความรู้สึกว่าเครื่องชั่งสปริงก็ดึงมือเราด้วย และถ้าเราดึงเครื่องชั่งสปริงด้วยแรงมากเท่าใด เครื่องชั่งสปริงก็จะดึงเรากลับด้วยแรงที่มีขนาดเท่ากับแรงที่เราดึงแต่มีทิศตรงกันข้าม

         จากตัวอย่างและลักษณะการเกิดแรงกระทำระหว่างวัตถุที่กล่าวไว้ด้านบน ทำให้สามารถสรุปได้ว่า

เมื่อมีแรงกระทำต่อวัตถุหนึ่ง วัตถุนั้นจะออกแรงโต้ตอบในทิศตรงกันข้ามกับแรงที่มากระทำ แรงทั้งสองนี้เกิดขึ้นพร้อมกันเสมอ เราเรียกแรงที่มากระทำต่อวัตถุว่า “แรงกิริยา” (Action Force) และเรียกแรงที่วัตถุโต้ตอบต่อแรงที่มากระทำว่า “แรงปฏิกิริยา” (Reaction Force) และแรงทั้งสองนี้รวมเรียกว่า “แรงคู่กิริยา – ปฏิกิริยา” (Action – Reaction Pair)

      จากการศึกษาพบว่า

แรงกิริยาและแรงปฏิกิริยามีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้ามเสมอ นิวตันได้สรุปความสัมพันธ์ระหว่างแรงกิริยาและแรงปฏิกิริยาไว้เป็นกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน ซึ่งมีใจความว่า “ทุกแรงกิริยาจะต้องมีแรงปฏิกิริยาที่มีขนาดเท่ากันและทิศตรงข้ามกันเสมอ” ตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้

          หากเราออกแรงถีบยานอวกาศในอวกาศ ทั้งตัวเราและยานอวกาศต่างเคลื่อนที่ออกจากกัน
(แรงกริยา = แรงปฏิกิริยา) แต่ตัวเราจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งที่มากกว่ายานอวกาศ ทั้งนี้เนื่องจากตัวเรามีมวลน้อยกว่ายานอวกาศ (กฎข้อที่ 2) ดังภาพ

          นิวตันอธิบายว่า ขณะที่ดวงอาทิตย์มีแรงกระทำต่อดาวเคราะห์ ดาวเคราะห์ก็มีแรงกระทำต่อดวงอาทิตย์ในปริมาณที่เท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม และนั่นคือแรงดึงดูดร่วม

         จากการศึกษาพบว่าวัตถุเมื่อถูกแรงภายนอกที่มีค่าไม่เป็นศูนย์มากระทำ และแรงภายนอกนั้นมีค่ามากพอ จะทำให้วัตถุเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่จากเดิม เช่น ถ้าเดิมวัตถุหยุดนิ่งเมื่อถูกแรงภายนอกกระทำจะส่งผลให้วัตถุเคลื่อนที่ หรือเดิมถ้าวัตถุเคลื่อนที่อยู่แล้วเมื่อถูกแรงภายนอกกระทำก็จะส่งผลให้วัตถุเคลื่อนที่เร็วขึ้น หรือช้าลง หรือหยุดนิ่งก็ได้ ซึ่งการเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่เดิมของวัตถุจะมากหรือน้อยจึงขึ้นกับปริมาณของแรงภายนอกที่มากระทำต่อวัตถุและมวลของวัตถุ

นิวตันได้ให้ความสัมพันธ์ระหว่างแรงกับการเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่ของวัตถุไว้ว่า “ถ้าแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุมีค่าไม่เป็นศูนย์ วัตถุจะเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่” นั่นคือ ความเร็วของวัตถุอาจจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงหรืออาจเปลี่ยนแปลงทิศทางการเคลื่อนที่ เรียกว่า “วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง” เมื่อแรงลัพธ์ที่กระทำมีค่าไม่เป็นศูนย์จะเกิดการเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่

  จากรูปจะเห็นว่าแรงรวมทางด้านขวามือมีค่ามากกว่าแรงรวมทางด้านซ้ายมือจึงทำให้เกิดการเคลื่อนที่ไปทางขวามือด้วยความเร่งค่าหนึ่ง โดยความเร่งนี้จะมีค่ามากหรือน้อยขึ้นอยู่กับขนาดของแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุและมวลของวัตถุ

จากความสัมพันธ์ระหว่างแรง มวล และความเร่งข้างต้น สามารถสรุปเป็น "กฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน" ได้ว่า "เมื่อมีแรงลัพธ์ที่มีขนาดไม่เป็นศูนย์มากระทำกับวัตถุ จะทำให้วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร่งในทิศทางเดียวกับแรงลัพธ์ที่มากระทำ และขนาดของความเร่งจะแปรผันตรงกับขนาดของแรงลัพธ์ และแปรผกผันกับมวลของวัตถุ" โดยมีความสัมพันธ์ตามสมการ

          • ถ้าเราผลักวัตถุให้แรงขึ้น ความเร่งของวัตถุก็จะมากขึ้นตามไปด้วย
          • ถ้าเราออกแรงเท่า ๆ กัน ผลักวัตถุสองชนิดซึ่งมีมวลไม่เท่ากัน วัตถุที่มีมวลมากจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งน้อยกว่าวัตถุที่มีมวลน้อย

ความเร่งของวัตถุ = แรงที่กระทำต่อวัตถุ / มวลของวัตถุ (หรือ a = F/m)

ตัวอย่าง: เมื่อเราออกแรงเท่ากัน เพื่อผลักรถให้เคลื่อนที่ไปข้างหน้า รถที่ไม่บรรทุกของจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งมากกว่ารถที่บรรทุกของ

ภาพที่ 3  ความเร่งแปรผกผันกับมวล

          ในเรื่องดาราศาสตร์ นิวตันอธิบายว่า ดาวเคราะห์และดวงอาทิตย์ต่างโคจรรอบกันและกัน โดยมีจุดศูนย์กลางร่วม แต่เนื่องจากดวงอาทิตย์มีมวลมากกว่าดาวเคราะห์หลายแสนเท่า เราจึงมองเห็นว่า ดาวเคราะห์เคลื่อนที่ไปด้วยความเร่งที่มากกว่าดวงอาทิตย์ และมีจุดศูนย์กลางร่วมอยู่ภายในตัวดวงอาทิตย์เอง ดังเช่น การหมุนลูกตุ้มดัมเบลสองข้างที่มีมวลไม่เท่ากัน ในภาพที่ 4 “

ภาพที่ 4  การหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล

           เซอร์ ไอแซค นิวตัน (Sir Isaac Newton) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ถือกำเนิดใน ปี ค.ศ.1642 นิวตันสนใจดาราศาสตร์ และประดิษฐ์กล้องโทรทรรศน์ชนิดสะท้อนแสง (Reflecting telescope) ขึ้นโดยใช้โลหะเงาเว้าในการรวมแสง แทนการใช้เลนส์ เช่นในกล้องโทรทรรศน์ชนิดหักเหแสง (Refracting telescope) นิวตันติดใจในปริศนาที่ว่า แรงอะไรทำให้ผลแอปเปิลตกสู่พื้นดินและตรึงดวงจันทร์ไว้กับโลก และสิ่งนี้เองที่นำเขาไปสู่การค้นพบกฎที่สำคัญ 3 ข้อ

ภาพที่ 1 เซอร์ไอแซค นิวตัน

กฎข้อที่ 1 กฎของความเฉื่อย (Inertia)
วัตถุที่หยุดนิ่งจะพยายามหยุดนิ่งอยู่กับที่ ตราบที่ไม่มีแรงภายนอกมากระทำ ส่วนวัตถุที่เคลื่อนที่จะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ ตราบที่ไม่มีแรงภายนอกมากระทำเช่นกัน“

ตัวอย่าง: ขณะที่รถติดสัญญาณไฟแดง ตัวเราหยุดนิ่งอยู่กับที่
         • แต่เมื่อสัญญาณไฟแดงเปลี่ยนเป็นไฟเขียว เมื่อคนขับเหยียบคันเร่งให้รถเคลื่อนที่ไปข้างหน้า แต่ตัวของเราจะพยายามคงสภาพหยุดนิ่งไว้ ผลคือ หลังของเราจะถูกผลักติดกับเบาะ ขณะที่รถเกิดความเร่งไปข้างหน้า
          • ในทำนองกลับกัน เมื่อสัญญาณไฟเขียวเปลี่ยนเป็นไฟแดง คนขับรถเหยียบเบรคเพื่อจะหยุดรถ ตัวเราซึ่งเคยเคลื่อนที่ด้วยความเร็วพร้อมกับรถ ทันใดเมื่อรถหยุด ตัวเราจะถูกผลักมาข้างหน้า

ภาพที่ 2 การเคลื่อนที่ในอวกาศ

นิวตันอธิบายว่า ในอวกาศไม่มีอากาศ ดาวเคราะห์จึงเคลื่อนที่โดยปราศจากความฝืด โดยมีความเร็วคงที่ และมีทิศทางเป็นเส้นตรง เขาให้ความคิดเห็นว่า การที่ดาวเคราะห์โคจรเป็นรูปวงรีนั้น เป็นเพราะมีแรงภายนอกมากระทำ (แรงโน้มถ่วงจากดวงอาทิตย์) นิวตันตั้งข้อสังเกตว่า แรงโน้มถ่วงที่ทำให้แอปเปิลตกสู่พื้นดินนั้น เป็นแรงเดียวกันกับ แรงที่ตรึงดวงจันทร์ไว้กับโลก หากปราศจากซึ่งแรงโน้มถ่วงของโลกแล้ว ดวงจันทร์ก็คงจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงผ่านโลกไป “