ความเร็วและอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง

          ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง (Instantaneous velocity) ก็คือความเร็วของวัตถ
ุในช่วงเวลาที่ สั้นมากขณะผ่านจุดจุดหนึ่งหรือที่เวลาใดเวลาหนึ่ง หรือพูดสั้น ๆ เป็น
ความเร็วในช่วงเวลาที่สั้นมาก นั้นคือ

                                      

           สัญลักษณ์ในสมการ เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์แสดงกระบวน การทางคณิตศาสตร์ที่ใช้หา ค่า lim เมื่อทราบฟังก์ชันชัดเจนและค่า  หรือ  เป็นทำอนุพันธ์ของ X เทียบกับเวลา ซึ่งเป็นสัญลักษณ์แทน   นั่นเอง
 ถือเป็นตัวดำเนิน การตัวหนึ่ง ซึ่งจะกระทำบางอย่างกับสิ่งที่เขียนตามมา กราฟของ ตำแหน่งของวัตถุกับ เวลาอาจเป็นดังรูป ระหว่าง จุด และ ที่เวลา และ ซึ่งจะเรียกว่าจุด P และ จุด Q การเคลื่อนที่อาจ เป็นไปตามเส้นโค้ง



                                   รูป ความเร็วเฉลี่ยและความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง

          ถ้าตำแหน่งของวัตถุที่ผ่าน P และ Q เป็นเส้นโค้งดังรูป ความชันของเส้น
ตรงที่ลากผ่าน PQ คือ  ก็คือ ความเร็วเฉลี่ยระหว่าง P และ Q ถ้าจุด P
เลื่อนไปใกล้จุด Q มากขึ้น ๆ นั้นคือช่วง จะสั้นลงจน P อยู่ใกล้ Q มาก
เส้นตรง PQ ก็จะกลายเป็นเส้นสัมผัสเส้น โค้งที่จุด Q นั่นเอง และ จะมีระยะหนึ่ง
ที่เมื่อ P เข้าใกล้ Q มากขึ้น ความชันก็ไม่ เปลี่ยนแปลง ความชันนี้คือ ลิมิต (Limit) หรือขีดจำกัด ของความชัน และถือว่า ค่าความเร็วของวัตถุที่ Q ซึ่งเป็นความเร็ว ขณะใดขณะหนึ่งที่เวลา หรือที่จุด Q เพื่อให้เข้าใจความหมายดังกล่าวของค่าลิมิต เราสามารถสังเกตได้จากตัวอย่าง ต่อไปนี้ เช่น สมมติว่า เราทราบว่ากราฟตำแหน่งกับ เวลาเป็นไปตามสมการ ในหน่วยเมตรเมื่อ  เป็นวินาที เราสามารถรู้ค่า
ตำแหน่ง X ที่เวลาต่าง ๆ ได้จากการคำนวณจากสมการ ให้ Q เป็นตำแหน่งที่ 2.00
วินาที ค่าของตำแหน่ง P ที่เวลาต่าง ๆ ใกล้ Q และค่าของความชันของเส้น PQ ดังตาราง ซึ่งจะเห็นลิมิต ของความชันที่ Q เป็น 20.00 เมตรต่อวินาที

ตาราง แสดงค่า X ของ P และ Q ที่เวลาต่าง ๆ และค่าความชันของเส้น PQ

                     ตารางแสดงว่าความชันไม่เปลี่ยนเมื่อ t เข้าใกล้ 2.00 วินาทีมาก

เมื่อช่วงเวลาสั้นมากวัตถุไม่มีเวลาที่จะกลับไปมา อัตราเร็วที่ขณะใดขณะหนึ่งก็คือขนาด
ของความเร็วที่ไม่ต้องคำนึงถึงทิศทางนั่นเอง